Matemática: Operações elementares

Operações elementares

O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo podem ser performadas através das propriedades associativa, comutativa e distributiva, levando em consideração a identidade $i^2=-1\,$
Sejam z e w dois números complexos dados por $z=(a,b)\,$ e $w=(c,d)\,$ então definem-se as relações e operações elementares tal como segue:

Identidade:

$z=w\,$ se e somente se $a=c\,$ e $b=d\,$ .

Soma:

$z + w = w + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b+d)i\,\!$

Produto:

$zw = wz = (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i\,\!$

Conjugado:

Exemplo número complexo com módulo 2 e argumento 120°. Em vermelho o conjugado deste número em em verde o oposto.

$\overline{z} = a - bi$ , onde $\overline{z}$ denota o conjugado de z. Outra notação usada para o conjugado de $z$ é ${z}^*$ .

O conjugado de um número complexo é seu simétrico no plano complexo em relação ao eixo real. A soma e o produto de um número complexo com seu conjugado tem parte imaginária nula.

Soma de um Complexo por seu Conjugado:

$z + \overline{z} = (a + bi)+(a - bi) = 2a$ .

Produto de um Complexo por seu Conjugado:

$z\cdot\overline{z} = (a + bi) (a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2 i^2 = a^2 - b^2i^2$ .
Como $i^2 = -1$ , temos que o produto de um Número Complexo $a + bi$ pelo seu Conjugado $a - bi$ se dá por: $(z)\overline{z} = a^2 + b^2$ .

Módulo:

$\left|z\right| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$

Inverso multiplicativo (para $z \neq 0$ ):

$\frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}$ .
As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo, respectivamente. Algumas operações são mais facilmente realizadas na forma polar:

$z = a + bi = r (\cos\varphi+ i\sin\varphi) = r e^{i\varphi}\,\!$ .

Produto:

$z \cdot w = r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2} = r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \,$

Inverso multiplicativo (para $z \neq 0$ ):

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r_1\,e^{i\varphi_1}} = \frac{1}{r_1} \cdot e^{-i(\varphi_1)} \,$

Divisão:

$\frac{z}{w} = \frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)} \,$

Potenciação:

$z^n = \big(r_1\,e^{i\varphi_1}\big)^n = r_1^n\,e^{in\varphi_1},~~ n=0,1,2,3,\ldots \,$

Conjugado:

$\overline{z} = r_1\,e^{-i\varphi_1}$

A produto de um número complexo pelo seu conjugado é:

$z \overline{z} = r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_1\,e^{-i\varphi_1} = r_1 \cdot r_1\,e^{i\varphi_1-i\varphi_1} = r_1^2 \,e^0 = r_1^2$

O módulo

Sejam z e w dois números complexos dados por $z=(a,b)\,$ e $w=(c,d)\,$ , o módulo possui as seguintes propriedades:

$\begin{array}{lcl} |z|&=&\sqrt{a^2+b^2} \\ |\overline{z}|&=&|z| \\ |z\cdot w|&=&|z|\cdot|w| \\ |z+w|&\leq& |z|+|w|\\ |z|&=&0 \Longleftrightarrow z=0 \end{array}$