Geometria Espacial

Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.

Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade, como: 

Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.
Cone: casquinha de sorvete.
Cilindro: cano PVC, canudo.
Esfera: bola de isopor, bola de futebol.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupado por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.

 

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática

A maldição da pirâmide

DICAS DO ENEM - Geométria

(Pirâmide, Cone e Esfera) Matemática - Novo Telecurso - Ensino Médio - A...

Matemática- Esfera e Partes da Esfera

Esfera

Esfera: É um objeto tridimensional que resulta da rotação de um círculo em torno de seu diâmetro.



r → raio da esfera


Área: A = 4πrs²

Volume:


4.1 Calota de esfera

Metaforicamente, a calota de uma esfera pode ser considerada como a "tampa de uma laranja".



r → raio da esfera
h → altura da calota

Área somente da calota:
A = 2πrh

Volume:


4.2. Fuso de uma esfera
Metaforicamente, o fuso de uma esfera pode ser considerado como o "gomo de uma laranja".



r → raio da esfera
α → ângulo do fuso em graus

Área da lateral externa:


Volume:

Matemática - Geometria Espacial: Área do Cilindro

Cilindro

Definições, área e volume

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Cilindro

Cilindro: Objeto tridimensional composto pela sobreposição de infinitos círculos de mesmo diâmetro. É também definido como o objeto que resulta da rotação de um paralelogramo em torno de um dos seus lados. Ou ainda, o cilindro pode ser visto como um "prisma" de base circular.

1.1 Cilindro reto: O cilindro é reto quando os círculos se sobrepõem ao longo de uma direção perpendicular ao plano dos mesmos. Ou quando o paralelogramo que executa a rotação é um retângulo. Neste caso o eixo do cilindro é perpendicular à sua base.

Definições complementares

A_l → área lateral

A_b → área da base

h → altura do cilindro (distância entre as duas bases e perpendicular a elas)

r → raio da base

Onde:

A_l = 2πrh A_b = πr²

Área total:

A_T = A_l + 2 . A_b = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)

Volume:

V = A_b . h = πr²h

1.2 Cilindro oblíquo: quando o eixo o cilindro não é perpendicular à sua base.

As fórmulas para cálculo das áreas e do volume continuam as mesmas, pois a altura é sempre a distância entre as duas bases e perpendicular a elas ou ao plano que as contém.

Geometria Espacial - Pirâmides

Pirâmides

Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base.

Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide.
Os pontos A, B, C e V são os vértices.
Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.
O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base.
A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.

A classificação de uma pirâmide depende do número de arestas da região da área da base.

Base é um triângulo
Nome: pirâmide triangular
Número de faces: três faces laterais mais face da base, portanto, quatro faces.

Base é um quadrado
Nome: pirâmide quadrangular
Número de faces: quatro faces laterais mais face da base, portanto, cinco faces.

Base é um pentágono
Nome: pirâmide pentagonal
Número de faces: cinco faces laterais mais face da base, portanto, seis faces.

Base é um hexágono
Nome: pirâmide de base hexagonal
Número de faces: seis faces laterais mais face da base, portanto, sete faces.


Pirâmide triangular                   Pirâmide quadrangular                        Pirâmide pentagonal



Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base

Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²




Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:

onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.


Área lateral
É a soma de todas as áreas laterais.

Área total
Soma da área lateral com a área da base.
A_t = A_l + A_b


Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:

onde Ab: área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide.


Planificação de uma pirâmide

      Pirâmide triangular                    Pirâmide quadrangular                     Pirâmide pentagonal

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

63. Matemática (Ensino Médio): Cubo, Prismas, Cilindro - Novo Telecurso -

(Cubo, Prismas, Cilindro) Matemática - Novo Telecurso - Ensino Médio - A...

Como Calcular a Área e Volume de Prismas

Prisma

Consideremos um polígono convexo qualquer, contido num plano αe paralelo a esse um plano β onde temos uma figura congruente à primeira. 

O prisma será dado pela reunião de todos os polígonos que ligam os polígonos contidos nos plano e os próprios.

Um prisma possui:
2 bases congruentes, que são os polígonos contidos nos planos paralelos.
n faces laterais,
n + 2 faces totais,
3n arestas
2n vértices.
Assim podemos observar que para o prisma a relação de Euler é válida.
Onde V – A + F = 2
Assim 2n – 3n + n + 2 = 2.
Um prisma poderá ser cortado por inúmeros planos a esses cortes é dado o nome de secção.
A superfície lateral total de um cubo é a soma das medidas das áreas laterais com as ares das bases, superior e inferior.
Prisma reto é aquele cujas arestas são perpendiculares às bases.
Prisma obliquo é aquele cujas arestas são oblíquo as bases.
Um prisma tem o nome que sua base representar, se for base triangular o prisma será prisma de base triangular, se for quadrada, prisma de base quadrada, etc..
O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura.

Cone

Ao estudarmos Geometria nos deparamos com várias situações geométricas, alguns sólidos possuem origem e fundamentos na sua formação, um deles é o cone, figura presente no cotidiano.
Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone será formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo.

Outra forma de construir o cone é através da revolução do triângulo retângulo sobre um eixo vertical.

Elementos do cone

g: geratriz do cone
h: altura do cone
r: raio da base
v: vértice


Classificação do cone

                Cone reto                                               Cone oblíquo

No cone reto podemos aplicar a relação de Pitágoras para o cálculo da geratriz (g), do raio da base (r) e da altura (h), pois vimos que o cone pode ser formado através da revolução do triângulo retângulo. Comparando os elementos do cone aos do triângulo retângulo temos:

Geratriz no cone, hipotenusa no triângulo.
Altura no cone, cateto no triângulo.
Raio da base no cone, cateto no triângulo.

Uma importante relação no cone é dada por: r² + h² = g², observe a figura:

Áreas no cone

Área da base
Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão:


Área da lateral
A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão:


Área total
É dada somando-se a área lateral e a área da base.
At = Al + Ab
At = Πr(g+r)



Volume do cone

O volume do cone é dado pelo produto da área da base pela altura divido por três.
V = (Πr²h)/3

Planificação do cone

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola