Origem dos Números Complexos
Nesta página iremos viajar no
tempo. Vou trazer um pouco de história e convido a vocês a entrarem neste
mundo. Especificamente vamos conhecer o trabalho de alguns matemáticos
importantes viveram em diversas épocas, mas que eles têm algumas coisas em comum.
Além de gostar da Matemática, eles ajudaram a construir os conceitos dos
Números Complexos. Prontos para a viagem?
Fonte: http://www.curiosidades10.com/img/ternura/242B5.jpg
O conceito de número complexo se
desenvolveu gradativamente, como ocorreu com os demais tipos de números.
Algumas equações do grau 2, como x² + 1 =0 não haviam solução até o século XVI,
pois para os matemáticos da época a raiz negativa não existia. Porém, não foi
este o motivo pelo qual os números complexos surgiram. Ao passar dos anos,
alguns matemáticos viram o mesmo problema para equações do 3º, onde que se
percebeu que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de
equação.
Curiosidade: os números
complexos surgiram na época do Renascimento, onde a Europa estava se
recuperando da peste negra e tinha um forte influência do Humanismo. A
matemática grega não era compreendida, pois poucos sabiam ler grego e era um
assunto complexo. Assim, os europeus acabaram seguindo para outros ramos e
continuaram a difundir a Matemática.
Para resolver este problema,
alguns matemáticos europeus, principalmente italianos desenvolveram pesquisas,
e houve algumas disputas. Antes das lutas, os números complexos começaram a ser
desenvolvidos por Scipione dal Ferro. Ferro desenvolveu uma teria para a
solução das equações do tipo x³ + px + q = 0, mas acabou não publicando sua
teoria.
Porque os matemáticos não
divulgavam suas teorias? Nesta época os matemáticos tinham costume de desafiar
outros matemáticos, para se mostrar algumas vezes mais inteligentes. Outra
hipótese seria o medo de outro matemático encontrar algum erro na fórmula, e
assim surgiram alguns problemas sobre a notoriedade de algumas teorias. Antonio
Maria Fior conheceu a teoria de Ferro e ampliou para as equações do tipo x³ +
px² + q = 0. Fior acabou desafiando o jovem Niccolò Fontana, conhecido como
Tartaglia a resolver 30 equações de grau 3. Para a surpresa de Fior, Tartaglia
conseguiu resolver os problemas. Com muita dedicação e esforço, Tartaglia procurou
um método para a resolução destas equações e acabou encontrando. Por este
motivo, ele acabou vencendo todas as disputas com Fior.
Tartaglia
Fonte: http://www.nndb.com/people/440/000098146/tartaglia-1.jpeg
Neste momento, chega aos ouvidos
de Girolamo Cardano que Tartaglia sabia resolver tal tipo de equação. Cardano
implorou a “fórmula” para resolver estas equações. Tartaglia recusou e acabou
sendo acusado de mesquinho e egoísta. Com a insistência de Cardano e jurando
que não divulgaria o resultado, Tartaglia revelou a solução. Porém, Cardano não
cumpriu com sua palavra, e em 1545 fez a publicação no livro Ars Magna com o
seguinte problema: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja
40”, e o resolve através dos radicais de maneira similar as equações de 2º
grau. Ele somente fez uma menção de Tartaglia na sua obra e até hoje a fórmula
é conhecida como “Fórmula de Cardano”. Esta descoberta foi tão inusitada que
ficou conhecida como o início da matemática moderna.
Cardano
Fonte:
http://sirblue.com/wp-content/uploads/2011/11/gerolamo-cardano.jpeg
Após esta “luta” surge um
problema inquietante que Cardano trouxe conhecido na época como números
“sofisticados”, ou seja, as raízes quadradas de números negativos. Cardano
concluiu que estas raízes seriam um número “tão sutil quando inútil”. Ao passar
dos anos seria provado que estes números não eram inúteis como Cardano achava
(BOYER, 1996, p. 197). Mas, como resolver o problema dos números “sofisticados”? O que fazer com estes números?
Fica evidente que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo
de equação. Assim, seguiram a mesma ideia que os pitagóricos seguiram quando
descobriram o número raiz quadrada de 2. Neste momento da história, se introduz
a ideia de aceitar o imaginário, e não somente o real.
Rafael Bombelli surge para
trabalhar com este problema e mostrou que ao conhecer uma raiz de uma equação
cúbica, conseguimos encontrar as outras duas. Por exemplo, se x = 4. Sabemos
que a soma das outras duas raízes deve ser 4, logo a parte real da equação é 2.
Bombelli teve a ideia de somar um número imaginário a esta parte real, e na
outra raiz somar o inverso relativo à adição deste número imaginário. Mais
tarde, essa teoria vai ficar conhecida como raiz conjugada.
René Descartes escreveu no seu
livro Géométrie a seguinte frase: “Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas)
ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias”.
Com esta citação ficou definido que o número raiz quadrada de -1 seria chamado
de número imaginário e que poderia ser manipulado de acordo com as regras da
álgebra. (GARBI, 1997, p. 75).
Descartes
Fonte: http://www.mundodosfilosofos.com.br/descartes.jpg
Abraham de Moivre foi um grande
matemático e ficou conhecido pela fórmula de Moivre, que relaciona os números
complexos com a trigonometria. O Teorema de Moivre é (cos θ + i sen θ)^n
(elevado na n) = cos (nθ) + i sen(nθ). Provavelmente Moivre descobriu esta
relação em 1707.
Tudo na matemática possui uma
simbologia, seja o sinal de divisão, seja uma integral, então como ficariam
definidos estes números imaginários? Foi Leonhard Euler, sim este mesmo que tem
o número e em sua memória. Além disto, Euler criou vários símbolos, assim à raiz
quadrada de -1 seria simbolizada por i, em 1777. Segundo Euler, os números
complexos também podem possuir uma parte real. Logo, o número complexo é do
tipo: z = a + ib, onde a e b são números reais e i² = -1, mas esta ideia só foi
aceita quando Gauss introduziu esta ideia. Euler ainda mostrou que os números
complexos são um corpo fechado, pois aplicando qualquer operação transcendente
resultará num número complexo.
Euler
Fonte:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/2/20/Leonhard_Euler.png
Em 1797, Caspar Wessel trabalhou
geometricamente os números complexos, fazendo uma correspondência objetiva
entre estes e os pontos do plano, mas somente foi publicado em 1806, por Jean
Argand. Hoje, Argand recebe o mérito por esta representação. Em 1798 o
matemático Carl Friedrich Gauss
demonstrou em sua tese de doutorado que toda equação algébrica de grau n (n
> 0) e coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa. Esse é o
chamado Teorema Fundamental da Álgebra. Tal teorema resolveu a questão das
soluções de equações algébricas.
Em 1831, Gauss retomou a ideia
Argand e pensou nos números a + b(raiz -1), como coordenadas de um ponto em um
plano cartesiano, tendo assim (a, b). Deu-se também uma interpretação
geométrica para a adição e multiplicação dos símbolos. Esta representação
geométrica “fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade quanto
aos números imaginários, pois estes agora podiam ser visualizados no sentido de
que cada ponto no plano corresponde a um número complexo e vice versa” (BOYER,
1996, p. 350). E para finalizar, em 1832, Gauss introduz a expressão número
complexo.
Gauss
Fonte:
http://belosnumeros.zip.net/images/johann_carl_friedrich_gauss.jpg
Segue abaixo um vídeo que fala
um pouco sobre os números imaginários e sobre o Gauss.
Em 1837, Sir Willian Rowan
Hamilton chegou ao final dessas descobertas reconhecendo os números complexos
como um par ordenado de números reais e reescreveu as definições geométricas de
Gauss na forma algébrica.
Para finalizar, abaixo segue uma
linha do tempo que mostra os principais fatos que desenvolveram os números
complexos.
Tartaglia
(cerca de 1500-1557)
|
Cardano
(1501-1576)
|
Bombelli
(cerca de 1526-1573)
|
Euler
(1707-1783)
|
Gauss
(1777-1855)
|
Descobriu uma fórmula geral para resolver
equações do tipo x³ + px =q, com p, q sendo
números Reais. Mas, acabou não publicando sua obra.
|
Quebrou um juramento feito a Tartaglia,
apresentando a fórmula de Tartaglia na sua obra Ars Magna.
Surge o impasse da raiz quadrada de um número negativo. |
Prosseguiu com a solução encontrada por
Cardano, considerou a raiz quadrada de -1 como um número "imaginário"
e desenvolveu regras para trabalhar com esse tipo de número.
|
Usou pela primeira vez o símbolo i para
representar a raiz quadrada de -1.
|
Fez um estudo da representação geométrica
dos números complexos. Em, 1832 Gauss introduzi a expressão número complexo.
|
Descobriu uma fórmula geral para
resolver equações do tipo x³ + px = q, com p, q sendo números Reais. Mas,
acabou não publicando sua obra. Quebrou
um juramento feito a Tartaglia, apresentando a fórmula de Tartaglia na sua obra
Ars Magna.
Surge o impasse da raiz quadrada
de um número negativo. Prosseguiu com a
solução encontrada por Cardano, considerou a raiz quadrada de -1 como um número
"imaginário" e desenvolveu regras para trabalhar com esse tipo de
número. Usou pela primeira vez o símbolo
i para representar a raiz quadrada de -1.
Fez um estudo da representação geométrica dos números complexos. Em, 1832 Gauss
introduzi a expressão número complexo.
Agora reflita, será que o número
1 pode ser complexo? Será que qualquer número real é complexo? A resposta é
sim, como vimos a e b são números reais, sendo deste tipo eles podem assumir o
valor zero, tendo assim que a parte imaginária seria 0i, ficando somente a
parte real. Bom, os números naturais possuem a simbologia de N, os inteiros de
I, logo os complexos são denotados por C.
Curiosidade:
Você sabia que neste conjunto
dos números complexos não existe relação de ordem, ou seja, não existe número
complexo maior que outro.
___________________________________________________________________________
Hoje, a teoria dos Números
Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade, onde
veremos isto mais adiante. Para quem quiser saber mais sobre a origem dos
números complexos, indico o terceiro site. Neste site explica detalhadamente
cada etapa da construção deste número. Além do ótimo livro do Garbi que explica
muito bem todo o desenvolvimento dos números complexos.